正定矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 奇异矩阵 病态矩阵

正定矩阵

定义: A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有 >0,其中 表示x的转置,就称A正定矩阵。

性质:

  • 行列式恒为正
  • 正定矩阵可逆。若矩阵A正定,则必有|A|(矩阵A的行列式)>0,所以矩阵A可逆
  • 所有的特征值都是正的
  • 实对称矩阵A正定, 当且仅当 A与单位矩阵合同
  • 两个正定矩阵的和是正定矩阵, 乘积也是正定矩阵
实数域上所说的正定矩阵都是对称矩阵,在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)

判别实对称矩阵A的正定性有两种方法:

  1. 求出A的所有特征值,若全为正数,则A是正定的; 若特征值全为负数,则A为负定的。

  2. 若A的所有顺序主子式都大于零,则A是正定的; 若A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

半正定矩阵


正定矩阵的几何意义

定义中的 变为 ()

那么有

也就是说,一个向量 x 经过矩阵A变换后(左乘),与其转置向量的夹角小于90°

反对称矩阵

也就是,或者说元素关系满足 主对角线元素皆为0

  • 斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。
  • 任意矩阵 是斜对称矩阵。
  • 是斜对称矩阵,是向量, = 0

稀疏矩阵

在矩阵中,若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目,并且非0​元素分布没有规律时,则称该矩阵为稀疏矩阵

奇异矩阵(singular)

奇异和非奇异矩阵仅针对n阶方阵。 奇异矩阵就是对应的行列式等于0的矩阵。 若一个n阶矩阵是可逆的,则称它为非奇异矩阵。

奇异矩阵的判定方法: 行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵

非奇异矩阵的判定方法:

  • 一个矩阵非奇异 当且仅当 它的行列式不为零
  • 一个矩阵非奇异 当且仅当 它的秩为n
  • 可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵

病态矩阵

求解方程组Ax=b时如果对数据进行较小的扰动,则得出的结果具有很大波动,这样的矩阵称为病态矩阵。

最根本的原因在于矩阵的列之间的相关性过大。