正定矩阵

定义: A是n阶方阵，如果对任何非零向量x，都有 $x^TAx$ >0，其中 $x^T$ 表示x的转置，就称A正定矩阵。

性质:

• 行列式恒为正
• 正定矩阵可逆。若矩阵A正定，则必有|A|（矩阵A的行列式）>0，所以矩阵A可逆
• 所有的特征值都是正的
• 实对称矩阵A正定， 当且仅当 A与单位矩阵合同
• 两个正定矩阵的和是正定矩阵， 乘积也是正定矩阵

实数域上所说的正定矩阵都是对称矩阵，在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）

判别实对称矩阵A的正定性有两种方法：

1. 求出A的所有特征值，若全为正数，则A是正定的； 若特征值全为负数，则A为负定的。

2. 若A的所有顺序主子式都大于零，则A是正定的； 若A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

半正定矩阵

正定矩阵的几何意义

定义中的 $x^TAx>0$ 变为 $x^TY>0$ ($Y=Ax$)

那么有 $cos(\theta)=\frac{x^T Y}{\Vert x^T \Vert \Vert Y \Vert} > 0$

也就是说，一个向量 x 经过矩阵A变换后(左乘)，与其转置向量的夹角小于90°

反对称矩阵

也就是$A^T = -A$，或者说元素关系满足 $A_{ij} = -A_{ji}$ 主对角线元素皆为0

• 斜对称矩阵自身相乘的积是对称矩阵。
• 任意矩阵 $A$，$A^T - A$是斜对称矩阵。
• 若$A$是斜对称矩阵，$x$是向量，$x^T A x$ = 0

稀疏矩阵

在矩阵中，若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0​元素分布没有规律时，则称该矩阵为稀疏矩阵

奇异矩阵(singular)

奇异和非奇异矩阵仅针对n阶方阵。 奇异矩阵就是对应的行列式等于0的矩阵。 若一个n阶矩阵是可逆的，则称它为非奇异矩阵。

奇异矩阵的判定方法: 行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵

非奇异矩阵的判定方法：

• 一个矩阵非奇异 当且仅当 它的行列式不为零
• 一个矩阵非奇异 当且仅当 它的秩为n
• 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵

病态矩阵

求解方程组Ax=b时如果对数据进行较小的扰动，则得出的结果具有很大波动，这样的矩阵称为病态矩阵。

最根本的原因在于矩阵的列之间的相关性过大。