单一多项式插值会有两个问题：
- 随着多项式的阶数越来越高，计算量也越来越大。
- 随着多项式的阶数越来越高，插值精度并不会越来越高，恰恰相反，函数曲线会出现剧烈的振荡，即龙格现象。
既能穿过所有已知点又能避免龙格现象（剧烈的震荡），就要用分段函数插值。就是把所有的已知数据分割成若干段，每段都对应一个插值函数，最终得到一个插值函数序列。
为了保证分段函数之间彼此衔接，每个分段函数都采用高次函数形式来构造（三次样条差值 就是用x的三次方形式构造）这就保证了多个函数之间的衔接光滑。不能用过高阶的函数，否则抖动太剧烈。
三次样条插值就是把已知数据分割成若干段，每段构造一个三次函数，并且保证分段函数的衔接处具有0阶连续，一阶导数连续，二阶导数连续的性质（也就是光滑衔接）。
三次样条曲线不算基于优化的算法，没有目标函数，不过有约束，而且边界约束有多种情况。一阶连续意味着曲线y=S(x)没有急转弯，没有特别剧烈的跳变。二阶连续意味着每个点的曲率半径有定义。
给定n+1个数据点，共有n个区间，推导如下
自由边界：首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力。让端点的斜率自由的在某一位置保持平衡，使得曲线的摇摆最小。
固定边界：首尾两端点的微分值是被指定的。用外力使柔软而有弹性的曲线经过数据点，并在端点处使其具有固定斜率。
非节点边界：指定样条曲线的三次微分匹配
文章QP方法解基于五次多项式形式的cost function minimization问题不是分段的多项式函数，问题相当简单。